Branch Cut

释义 Definition

branch cut（支割线/分支割线）：复分析中为使多值复函数（如 (\log z)、(z^\alpha)、(\sqrt{z}) 等）在选定的主值分支上变成单值、连续（解析）的做法：在复平面上人为选取一条曲线并“切开”，让函数在这条线两侧取不同分支，从而避免绕行奇点时产生的值跳变。
（在更广义的图景中，它与“黎曼曲面”上的分支连接方式相关。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈbræntʃ ˌkʌt/

例句 Examples

The branch cut for the complex logarithm is usually taken along the negative real axis.
复对数函数的支割线通常取在负实轴上。

When we define a principal value of (z^{1/2}), choosing a branch cut prevents the square root from switching sign as (z) winds around the origin.
当我们给 (z^{1/2}) 定义主值时，选取支割线可以防止 (z) 绕原点一圈后平方根发生变号。

词源 Etymology

branch cut由 branch（分支） + cut（切割）构成：多值函数的不同“分支”在复平面上会在某些路径绕行后互相“接续/跳转”。为固定某一个分支（例如“主值”），就沿某条曲线把平面“切开”，使跨越该线时允许不连续，从而在其余区域保持单值与连续性。

相关词 Related Words

• Analytic
• Branch Point
• Complex Logarithm
• Contour
• Discontinuity
• Holomorphic
• Monodromy
• Multivalued
• Principal Value
• Riemann Surface

文献与名著中的用例 Literary / Notable Works

• Complex Analysis（Lars V. Ahlfors）——讨论对数、幂函数等的主值与支割线选取。
• Complex Variables and Applications（James Ward Brown & Ruel V. Churchill）——在多值函数与积分路径章节中频繁出现。
• Functions of One Complex Variable（John B. Conway）——用更严格的方式处理分支、支割线与解析延拓。
• A Course of Modern Analysis（E. T. Whittaker & G. N. Watson）——涉及特殊函数时常需指定支割线。
• Handbook of Mathematical Functions（Abramowitz & Stegun）——多种特殊函数的定义会注明支割线约定。